TABTRAINER® FACHWISSEN · REGRESSION UND KORRELATION
Regression und Korrelation helfen dabei, statistische Zusammenhänge
zwischen messbaren Größen zu erkennen, zu quantifizieren und
mathematisch zu beschreiben. Entscheidend ist, beide Verfahren klar
voneinander zu unterscheiden und ihre Ergebnisse nicht vorschnell als
Ursache-Wirkungs-Nachweis zu interpretieren.
Eine Korrelationsanalyse beschreibt, wie stark und in welcher Richtung
zwei quantitative Variablen linear miteinander zusammenhängen. Eine
Regressionsanalyse geht einen Schritt weiter: Sie entwickelt ein
mathematisches Modell, mit dem eine Antwortvariable in Abhängigkeit von
einem oder mehreren Prädiktoren beschrieben und innerhalb des
untersuchten Datenbereichs prognostiziert werden kann.
Beide Verfahren ergänzen sich, verfolgen aber unterschiedliche Ziele.
Die Korrelation ist symmetrisch und unterscheidet grundsätzlich nicht
zwischen Einfluss- und Ergebnisgröße. In der Regression werden dagegen
eine Antwortvariable und ein oder mehrere Prädiktoren eindeutig
festgelegt.
GRUNDLAGEN
Eine fachlich korrekte Interpretation beginnt mit einer klaren
Unterscheidung von Variablen, Zusammenhangsmaßen und
Modellbestandteilen.
Der Korrelationskoeffizient nach Pearson kann Werte zwischen
minus eins und plus eins annehmen. Das Vorzeichen beschreibt die
Richtung, der Betrag die Stärke des linearen Zusammenhangs.
Lineare Beziehung quantifizieren
Ein Streudiagramm zeigt die Datenpaare zweier Variablen. Form,
Richtung und Streubreite der Punktewolke liefern einen ersten
Eindruck über Linearität, Ausreißer und mögliche Krümmungen.
Zusammenhang visualisieren
Die Antwortvariable ist die Größe, die durch das
Regressionsmodell beschrieben oder prognostiziert werden soll.
Sie wird häufig auch als Zielgröße oder abhängige Variable
bezeichnet.
Zu erklärendes Ergebnis
Ein Prädiktor ist eine Variable, die zur Erklärung oder Prognose
der Antwortvariablen verwendet wird. Prädiktoren können
quantitativ oder kategorial vorliegen.
Einflussgröße im Modell
Regressionskoeffizienten beschreiben, wie sich die modellierte
Antwortvariable verändert, wenn sich ein Prädiktor verändert und
die übrigen Modellbedingungen konstant gehalten werden.
Richtung und Stärke modellieren
Ein Residuum ist die Differenz zwischen einem tatsächlich
beobachteten Wert und dem durch das Regressionsmodell angepassten
Wert. Residuen bilden die nicht erklärte Reststreuung ab.
Modellabweichung beurteilen
WICHTIGE ABGRENZUNG
Zwei Variablen können stark miteinander korrelieren, ohne dass die eine
Variable die andere verursacht. Der beobachtete Zusammenhang kann
beispielsweise durch eine dritte Einflussgröße, eine gemeinsame
zeitliche Entwicklung oder eine ungeeignete Datenauswahl entstehen.
Kausale Aussagen benötigen zusätzlich Prozesswissen, ein geeignetes
Untersuchungsdesign und eine nachvollziehbare fachliche Begründung.
VERFAHRENSAUSWAHL
Die richtige Methode hängt von der Anzahl und Skalierung der
Variablen, der Form des Zusammenhangs und dem Ziel der Untersuchung
ab.
Die einfache Korrelation untersucht den linearen Zusammenhang
zwischen zwei quantitativen Variablen. Sie liefert einen
Korrelationskoeffizienten und ein zugehöriges Konfidenzintervall.
Zwei Variablen vergleichen
Eine Korrelationsmatrix fasst die paarweisen Korrelationen mehrerer
quantitativer Variablen zusammen. Sie unterstützt die Suche nach
ähnlichen Datenprofilen und redundanten Informationen.
Mehrere Beziehungen überblicken
Eine einfache lineare Regression beschreibt eine Antwortvariable
mithilfe eines quantitativen Prädiktors und einer Geradenfunktion
mit Achsenabschnitt und Steigung.
Linearen Verlauf modellieren
Die multiple Regression berücksichtigt mehrere Prädiktoren
gleichzeitig. Dadurch kann der Beitrag eines Faktors unter
Berücksichtigung der übrigen Modellvariablen beurteilt werden.
Mehrere Einflüsse untersuchen
Polynomiale Modelle ergänzen lineare Terme um quadratische oder
kubische Terme. Sie eignen sich, wenn die Daten innerhalb des
untersuchten Bereichs eine nachvollziehbare Krümmung aufweisen.
Gekrümmte Verläufe beschreiben
Bei mehreren möglichen Modellen werden Anpassungsgüte,
Prognosegüte, Komplexität, Residuenverhalten und fachliche
Plausibilität gemeinsam beurteilt.
Modellgüte vergleichen
Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass größere Werte der
einen Variablen tendenziell mit größeren Werten der anderen Variablen
einhergehen. Bei einer negativen Korrelation gehen größere Werte der
einen Variablen tendenziell mit kleineren Werten der anderen Variablen
einher.
Ein Korrelationskoeffizient nahe null bedeutet, dass kein ausgeprägter
linearer Zusammenhang erkannt wurde. Eine gekrümmte oder anderweitig
nichtlineare Beziehung kann dennoch vorhanden sein. Deshalb sollte der
Korrelationskoeffizient niemals ohne zugehöriges Streudiagramm
interpretiert werden.
MODELLGÜTE
Ein hoher Einzelwert reicht für die Modellfreigabe nicht aus.
Aussagekraft und Prognosefähigkeit müssen anhand mehrerer Kriterien
gemeinsam beurteilt werden.
R-Quadrat beschreibt, welcher Anteil der beobachteten Streuung
durch das angepasste Modell erklärt wird. Ein hoher Wert allein
garantiert jedoch noch kein geeignetes Modell.
Erklärte Streuung bewerten
Das korrigierte R-Quadrat berücksichtigt zusätzlich die Anzahl der
Modellterme. Es eignet sich deshalb besser zum Vergleich von
Modellen mit unterschiedlicher Komplexität.
Komplexität berücksichtigen
Prognoseorientierte Gütemaße beurteilen, wie zuverlässig das Modell
bisher nicht verwendete Beobachtungen vorhersagen kann. Eine gute
Anpassung an vorhandene Daten reicht dafür nicht automatisch aus.
Neue Werte prognostizieren
Residuen sollten keine systematischen Muster, Krümmungen,
Streuungstrichter oder zeitlichen Abhängigkeiten zeigen.
Auffälligkeiten können auf ein ungeeignetes Modell hinweisen.
Reststreuung prüfen
Stark miteinander zusammenhängende Prädiktoren erschweren die
getrennte Interpretation ihrer Koeffizienten. Der
Varianzinflationsfaktor unterstützt die Beurteilung dieses Risikos.
Prädiktoren voneinander trennen
Ein statistisch auffälliger Zusammenhang muss technisch
nachvollziehbar sein. Prozesswissen schützt davor, zufällige oder
sachlich nicht sinnvolle Modelle als Handlungsempfehlung zu nutzen.
Statistik mit Prozesswissen verbinden
PROGNOSEGRENZEN
Prognosen innerhalb des vorhandenen Datenbereichs werden als
Interpolation bezeichnet. Aussagen außerhalb dieses Bereichs sind
Extrapolationen und können deutlich unsicherer sein, weil dort keine
Beobachtungen zur Absicherung des Modellverlaufs vorliegen. Besonders
polynomiale Modelle können außerhalb des untersuchten Bereichs schnell
unrealistische Werte erzeugen.
UNSICHERHEIT
Beide Intervalle beziehen sich auf eine bestimmte Einstellung der
Prädiktoren, beantworten jedoch unterschiedliche Fragestellungen.
Die Regressionsgleichung liefert für eine konkrete
Prädiktoreinstellung einen angepassten mittleren Wert der
Antwortvariablen.
Punktschätzung des Modells
Das Konfidenzintervall beschreibt die Unsicherheit des geschätzten
mittleren Wertes der Antwortvariablen bei einer bestimmten
Prädiktoreinstellung.
Mittelwert abschätzen
Das Prognoseintervall beschreibt den möglichen Bereich einer
zukünftigen Einzelbeobachtung. Es ist deshalb gewöhnlich breiter
als das Konfidenzintervall.
Einzelwert prognostizieren
PRAXISBEISPIELE
Technische Prozessdaten lassen sich mit unterschiedlichen
Regressions- und Korrelationsverfahren analysieren. Die Methode
richtet sich nach Fragestellung und Datenstruktur.
Historische Werkstoffdaten werden verwendet, um den linearen
Zusammenhang zwischen Kupferanteil und Festigkeit zu untersuchen
und einen erforderlichen Parameterwert zu prognostizieren.
Einfache lineare Regression
Die Geschwindigkeitsdaten mehrerer Testpiloten werden mithilfe
einer Korrelationsmatrix paarweise verglichen, um ähnliche
Datenprofile zu identifizieren.
Korrelationsmatrix
Lineare, quadratische und kubische Modelle werden verglichen,
um einen gekrümmten Zusammenhang zwischen Glühzeit und Festigkeit
möglichst realitätsnah zu beschreiben.
Polynomiale Regression
Stetige und kategoriale Prädiktoren werden gemeinsam untersucht,
um ihre Beiträge zur erreichbaren Höchstgeschwindigkeit eines
Skateboards zu beurteilen.
Multiple Regression
Nicht hilfreiche Modellterme werden unter Beachtung von
Modellhierarchie, Gütemaßen und fachlicher Plausibilität geprüft
und gegebenenfalls entfernt.
Modellreduktion
Bei begrenzten technischen oder finanziellen Möglichkeiten können
alternative Prädiktorkombinationen anhand ihrer Anpassungs- und
Prognosegüte miteinander verglichen werden.
Effizientes Modell bestimmen
VORGEHENSWEISE
Zunächst wird geklärt, ob ein Zusammenhang beschrieben, ein
Einfluss beurteilt oder eine zukünftige Antwortvariable
prognostiziert werden soll.
Analyseziel festlegen
Streudiagramme und Matrixplots zeigen mögliche lineare oder
gekrümmte Beziehungen, Ausreißer, Datenlücken und auffällige
Wertebereiche.
Datenstruktur verstehen
Abhängig von Anzahl, Skalierung und Verlauf der Variablen wird
eine einfache, multiple oder polynomiale Analyse ausgewählt.
Passendes Modell bestimmen
Koeffizienten, Konfidenzintervalle, Signifikanzwerte und
Multikollinearität werden gemeinsam mit der technischen
Plausibilität bewertet.
Terme fachlich interpretieren
R-Quadrat-Werte, Prognosegüte und Residuenanalyse zeigen, ob das
Modell die Daten ausreichend beschreibt und belastbare
Vorhersagen ermöglicht.
Modell absichern
Handlungsempfehlungen aus dem Modell sollten mit neuen
Beobachtungen oder gezielten Bestätigungsversuchen überprüft
werden, bevor Prozessstandards verändert werden.
Ergebnis verifizieren
Häufig wird eine hohe Korrelation vorschnell als Kausalitätsnachweis
interpretiert. Ebenso problematisch ist es, nur auf den p-Wert oder
einen hohen R-Quadrat-Wert zu schauen, ohne Streudiagramme,
Residuenverhalten, Ausreißer und fachliche Plausibilität zu prüfen.
Weitere typische Fehler sind unkritische Extrapolationen, das
gleichzeitige Entfernen mehrerer Modellterme, die Missachtung von
Multikollinearität und die Verwechslung von Konfidenzintervall und
Prognoseintervall.
Im TABTRAINER®-Training werden einfache und multiple Korrelation,
lineare und polynomiale Regression, stetige und kategoriale
Prädiktoren, Modellgüte, Residuenanalyse, Multikollinearität,
Konfidenz- und Prognoseintervalle sowie die Auswahl und Optimierung
geeigneter Regressionsmodelle anhand technischer Praxisbeispiele
behandelt.
Statistische Versuchsplanung: DOE richtig anwenden
Qualitätsregelkarten: Prozessstabilität richtig beurteilen
Cp und Cpk: Prozessfähigkeit richtig interpretieren